\documentclass{article}%article类型文章
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\title{连续体动力学}%标题
\author{BY2104502 杜晨鸿}%作者
\date{2021-11}%日期
 
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\begin{document}%正文部分
\maketitle%显示正文之前的属性如作者
% \tableofcontents%生成目录
% \newpage%新的一页
\section{弹性体力学方程}
\subsection{静力学}
基本假设：连续、均匀、小变型

平衡方程
\begin{equation}
  \sigma_{ij,j}+f_i=0
\end{equation}

几何方程
\begin{equation}
  \epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
\end{equation}

本构方程
\begin{equation}
  \sigma_{ij}=D_{ijkl}\epsilon_{kl}
\end{equation}

\includegraphics[height=100pt]{./cont-body.jpg}

\subsection{动力学}

变化：位移和力时变、惯性力、阻尼力
方法：视惯性力、阻尼力为静力，代入平衡方程

平衡方程
\begin{equation}
  \sigma_{ij,j}+f_i=\rho u_{i,tt}+\mu u_{i,t}
\end{equation}

几何方程(不变)
\begin{equation}
  \epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
\end{equation}

本构方程(不变)
\begin{equation}
  \sigma_{ij}=D_{ijkl}\epsilon_{kl}
\end{equation}

\section{轴向受力杆}%一级标题

% \includegraphics[height=200pt]{./model.png}

\subsection{动力学方程} %二级标题

\includegraphics[height=200pt]{./bar-micro.jpg}

\begin{equation}
  \rho A\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}-EA\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=p(x,t)
\end{equation}

\subsection{能量}
动能：
\begin{equation}
  T=\frac{1}{2}\int_0^L\rho A \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2dx
\end{equation}

势能：
\begin{equation}
  V=\frac{1}{2}\int_0^LEA\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2dx
\end{equation}

虚功（用于计算广义力）：
\begin{equation}
  \delta W=\int_0^L\delta u f(x,t)dx
\end{equation}

\subsection{通解形式}
振动方程为
\begin{equation}
  \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=0
\end{equation}
其中，波速$a^2=\frac{E}{\rho}$
假设解为
\begin{equation}
  u(x,t)=\phi(x)\eta(t)
  \label{bar_ode}
\end{equation}
可求出两分离变量的方程：
\begin{align}
  \ddot{\eta}+\omega^2\eta(t)=0 \\
  \ddot{\phi}+k^2\phi(x)=0  \label{bar_phi_eqv}
\end{align}
其中，
波数$k^2=\frac{\omega^2}{a^2}$，波速$a^2=\frac{E}{\rho}$。
可进一步解出通解
\begin{align}
  \phi(x) & =B_1\sin(kx)+B_2\cos(kx) \\
  \eta(t) & =b\sin(\omega t+\theta)
\end{align}

\subsection{加入边条}
见下表：
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
  \hline
  左边条($x=0$)                                          & 右边条（$x=L$） & 频率方程 & 通解形式 \\ \hline
  \begin{tabular}{l}
    固支 \\$u(0,t)=0$
  \end{tabular}                                     &
  固支$u(x=L,t)=0$                                       &
  $\sin kL=0$,$k_i=\frac{i\pi}{L}$                       &
  $\phi_i(x)=B_i\sin(k_ix)$                                                                      \\\hline
  \begin{tabular}{l}
    自由 \\$\frac{\partial u(x=0,t)}{\partial x}=0$
  \end{tabular}        &
  自由($\frac{\partial }{\partial x}u(x=L,t)=0$)         &
  $\sin kL=0$,$k_i=\frac{i\pi}{L}$                       &
  $\phi_i(x)=B_i\cos(k_ix)$                                                                      \\\hline
  \begin{tabular}{l}
    固支 \\$u(0,t)=0$
  \end{tabular}                                     &
  自由($\frac{\partial }{\partial x}u(x=L,t)=0$)         &
  $\cos kL=0$,$k_i=\frac{\pi}{2L}(2i+1)$                 &
  $\phi_i(x)=B_i\sin(k_ix)$                                                                      \\\hline
  \begin{tabular}{l}
    自由 \\$\frac{\partial u(x=0,t)}{\partial x}=0$
  \end{tabular}        &
  固支($u(x=L,t)=0$)                                     &
  $\cos kL=0$,$k_i=\frac{\pi}{2L}(2i+1)$                 &
  $\phi_i(x)=B_i\cos(k_ix)$                                                                      \\\hline
  \begin{tabular}{l}
    固支 \\$u(0,t)=0$
  \end{tabular}                                     &
  \begin{tabular}{l}
    集中质量 \\
    $EA\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}=-m\frac{\partial^2u(L,t)}{\partial t^2}$
  \end{tabular}    &
  $EAk \cos kL=m\omega^2\sin kL$                         &
  $\phi_i(x)=B_i\sin(k_ix)$                                                                      \\\hline
  \begin{tabular}{l}
    固支 \\$u(0,t)=0$
  \end{tabular}                                     &
  \begin{tabular}{l}
    弹簧 \\$EA\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}=-du(L,t)$
  \end{tabular} &
  $EAk \cos kL=-d\sin kL$                                &
  $\phi_i(x)=B_i\sin(k_ix)$                                                                      \\\hline
\end{tabular}

\subsection{正交性条件}

将通解代入\ref{bar_phi_eqv},在等试两边乘以$\phi_j$,可得：
\begin{align}
  \int_0^L\phi_j(x)\ddot{\phi_i}(x)dx+k_i^2\int_0^L\phi_j(x)\phi_i(x)dx                                    & =0 \\
  \phi_j(x)\dot{\phi_i}(x)|^L_0-\int_0^L\dot{\phi_j}(x)\dot{\phi_i}(x)dx+k_i^2\int_0^L\phi_j(x)\phi_i(x)dx & =0
\end{align}
\subsubsection{简单边条的正交性条件}
此时有$\phi_j(x)\dot{\phi_i}(x)|^L_0=0$，上式可化简为：
\begin{equation}
  \int_0^L\dot{\phi_j}(x)\dot{\phi_i}(x)dx=k_i^2\int_0^L\phi_j(x)\phi_i(x)dx
\end{equation}
由ij的可交换性，正交性化简为：
\begin{align}
  \int_0^L\phi_j(x)\phi_i(x)dx                                                  & =\delta_{ij}c_i      \\
  -\int_0^L\phi_j(x)\ddot{\phi_i}(x)dx=\int_0^L\dot{\phi_j}(x)\dot{\phi_i}(x)dx & =\delta_{ij}c_ik_i^2
\end{align}

\subsubsection{复杂边条的正交性条件}
$\phi_j(x)\dot{\phi_i}(x)|^L_0=0$不再成立，需要利用边条来重新计算。\\
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
  \hline
  左边条($x=0$)                                          & 右边条（$x=L$） & $\phi_j(x)\dot{\phi_i}(x)|^L_0$ & 正交性条件 \\ \hline
  \begin{tabular}{l}
    固支 \\$u(0,t)=0$
  \end{tabular}                                     &
  \begin{tabular}{l}
    集中质量 \\
    $EA\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}=-m\frac{\partial^2u(L,t)}{\partial t^2}$
  \end{tabular}    &
  $\frac{mk_i^2}{\rho A}\phi_i(L)\phi_j(L)$              &
  \begin{tabular}{l}
    $\frac{m}{\rho A}\phi_i(L)\phi_j(L)$       \\
    $+\int_0^L\phi_j(x)\phi_i(x)$              \\
    $=\delta_{ij}c_i$                          \\
    $\int_0^L\dot{\phi_j}(x)\dot{\phi_i}(x)dx$ \\
    $=\delta_{ij}c_ik_i^2$
  \end{tabular}                                              \\\hline
  \begin{tabular}{l}
    固支 \\$u(0,t)=0$
  \end{tabular}                                     &
  \begin{tabular}{l}
    弹簧 \\$EA\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}=-du(L,t)$
  \end{tabular} &
  $-\frac{d}{EA}\phi_i(L)\phi_j(L)$                      &
  \begin{tabular}{l}
    $\int_0^L\phi_j(x)\phi_i(x)$               \\
    $=\delta_{ij}c_i$                          \\
    $\frac{d}{EA}\phi_j(x)\phi_i(x)$+          \\
    $\int_0^L\dot{\phi_j}(x)\dot{\phi_i}(x)dx$ \\
    $=\delta_{ij}c_ik_i^2$
  \end{tabular}                                          \\\hline
\end{tabular}

\subsection{自由及受迫振动}
\subsubsection{利用边条计算通解及振型}
即计算出$\phi_i(x)$和$k_i$，给出振型频率$\omega_i=k_i\sqrt{E/\rho}$。
则通解为：
\begin{equation}
  u(x,t)=\sum_{i=1}^{+\infty}\phi_i\eta_i
\end{equation}
\subsubsection{方程解耦}
将通解代入式\ref{bar_ode}，利用$\eta_i$的导数,得到：
\begin{equation}
  \rho A \sum_{i=1}^{+\infty}\phi_i\ddot{\eta}_i
  -EA \sum_{i=1}^{+\infty}\ddot{\phi}_i\eta_i=p(x,t)
\end{equation}

等式两边乘以关心的某一阶振型$\phi_j$,再在0到L积分。对自由振动，由正交性原理得到：
\begin{equation}
  M_j\ddot{\eta}_j+K_j\eta_j=0
\end{equation}
若为受迫振动，上式改写为：
\begin{equation}
  M_j\ddot{\eta}_j+K_j\eta_j=F_j(t)
\end{equation}
其中：
\begin{align}
  M_j    & =\rho A\int_0^L\phi_j^2dx                                                \\
  K_j    & =-EA\int_0^L\phi_j\ddot{\phi}_jdx==-EA\int_0^L\dot{\phi}_j\dot{\phi}_jdx \\
  F_j(t) & =\int_0^L p(x,t)\phi_jdx
\end{align}
可利用正交性条件计算积分值。
\subsubsection{将初始条件转化到模态坐标}
由通解可知：
\begin{equation}
  u(x,t=0)=\sum_{j=1}^{+\infty}\phi_j(x)\eta_j(0)
\end{equation}
对等式两边乘以$\phi_j$并积分：
\begin{equation}
  \int_0^Lu(x,t=0)\phi_jdx=\eta_j(0)\int_0^L\phi_j^2dx
\end{equation}
即得新广义下位移初值：
\begin{equation}
  \eta_j(0)=\frac{\int_0^Lu(x,t=0)\phi_jdx}{\int_0^L\phi_j^2dx}
\end{equation}
同理可得速度初值：
\begin{equation}
  \dot{\eta}_j(0)=\frac{\int_0^L\dot{u}(x,t=0)\phi_jdx}{\int_0^L\phi_j^2dx}
\end{equation}

\subsubsection{计算振动响应}
将各阶模态代入自由振动公式并求和即可求得自由振动的运动方程。
使用受迫振动的公式即可解得受迫振动响应。
\begin{equation}
  \eta_j(t)=
  (\eta_j(0)\cos(\omega_jt)
  +\frac{\dot{\eta}_j(0)}{\omega_j}\sin(\omega_jt))
  +\frac{1}{M_j\omega_j}\int_0^tF_i(\tau)\sin(t-\tau)d\tau
\end{equation}

\section{均匀梁}
\subsection{动力学方程}
$$
  \rho A\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4}
  =f(x,t)-\frac{\rm \partial}{{\rm \partial}x}m(x,t)
$$

\includegraphics[height=200pt]{./beam-micro.jpg}

其中，
\begin{align}
  \frac{dQ}{dx} & =f(x)                                                  \\
  Q             & =\frac{dM}{dx}+m(x)                                    \\
  M(x)          & =E\int_A\sigma y dA=EI\frac{d^2v}{dv^2}                \\
  \epsilon(x,y) & =\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dv}{dx}y\right)
\end{align}

\subsection{能量}
动能：
\begin{equation}
  T=\frac{1}{2}\int_0^L\rho A \left(\frac{\partial v}{\partial t}\right)^2dx
\end{equation}

势能：
\begin{equation}
  V=\frac{1}{2}\int_0^LEI(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2})^2dx
\end{equation}

\subsection{自由振动通解形式}
自由振动方程为：
\begin{equation}
  \frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}+a^2\frac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4}
  =0
\end{equation}

假设解为
\begin{equation}
  v(x,t)=\phi(x)\eta(t)
\end{equation}
可求出两分离变量的方程：
\begin{align}
  \ddot{\eta}+\omega^2\eta(t)=0 \\
  \phi^{(4)}-k^2\phi(x)=0  \label{beam_phi_eqv}
\end{align}
其中，
$k^2=\frac{\omega^2}{a^2}$,波速$a^2=\frac{EI}{\rho A}$。
可进一步解出通解
\begin{align}
  \phi(x) & =C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x+C_3\cosh\beta x+C_4\sinh\beta x \\
  \eta(t) & =b\sin(\omega t+\theta)
\end{align}
其中，$\beta^4=\frac{\omega^2}{a^2}$.通解中$\phi(x)$可求各阶导数：
\begin{align}
  \dot{\phi}(x)   & =- C_1\beta\sin\beta x + C_2\beta\cos\beta x+C_3\beta\sinh\beta x+C_4\beta\cosh\beta x        \\
  \ddot{\phi}(x)  & =-C_1\beta^2\cos\beta x - C_2\beta^2\sin\beta x+C_3\beta^2\cosh\beta x+C_4\beta^2\sinh\beta x \\
  \dddot{\phi}(x) & =C_1\beta^3\sin\beta x - C_2\beta^3\cos\beta x+C_3\beta^3\sinh\beta x+C_4\beta^3\cosh\beta x  \\
\end{align}

\subsection{加入边条}
见下表：\\
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
  \hline
  左边条($x=0$)                              & 右边条（$x=L$） & 频率方程 & 通解形式 \\ \hline
  \begin{tabular}{l}
    简支 \\ $v(0,t)=\ddot{v}(0,t)=0$
  \end{tabular} &
  \begin{tabular}{l}
    简支 \\ $v(L,t)=\ddot{v}(L,t)=0$
  \end{tabular} &
  $\sin \beta L=0$,$\beta_i=\frac{i\pi}{L}$  &
  $\phi_i(x)=B_i\sin(\beta_ix)$                                                      \\\hline
\end{tabular}
\includegraphics[width=\textwidth]{./beam-1.png}
\includegraphics[width=\textwidth]{./beam-2.png}
\includegraphics[width=\textwidth]{./beam-3.png}
\includegraphics[width=\textwidth]{./beam-4.png}


\subsection{正交性条件}

将式\ref{beam_phi_eqv}两边乘以$\phi_j$，并积分可得：
\begin{equation}
  \int_0^L\phi_i^{(4)}(x)\phi_j dx-\beta_i^4\int_0^L\phi_i\phi_jdx=0
\end{equation}
其中，
\begin{equation}
  \int_0^L\phi_i^{(4)}(x)\phi_j dx
  =\left.\dddot{\phi}_i\phi_j\right|_0^L
  -\left.\ddot{\phi}_i\dot{\phi}_j\right|_0^L
  +\int_0^L\ddot{\phi}_i\ddot{\phi}_jdx
\end{equation}

对于简单边条，$\left.\dddot{\phi}_i\phi_j\right|_0^L=\left.\ddot{\phi}_i\dot{\phi}_j\right|_0^L=0$
从而有
\begin{equation}
  \int_0^L\ddot{\phi}_i\ddot{\phi}_jdx-\beta_i^4\int_0^L\phi_i\phi_jdx=0
\end{equation}

由于ij可交换性，有：
\begin{align}
  \int_0^L\phi_j(x)\phi_i(x)dx               & =\delta_{ij}c_i          \\
  \int_0^L\ddot{\phi_j}(x)\ddot{\phi_i}(x)dx & =\delta_{ij}c_i\beta_i^4
\end{align}


\subsection{受迫振动}

通解为：
\begin{equation}
  v(x,t)=\sum_{i=1}^{+\infty}\phi_i(x)\eta_i(t)
\end{equation}

代入方程有：
\begin{equation}
  \sum_{i=1}^{+\infty}\phi_i(x)\ddot{\eta}_i(t)
  +a^2\sum_{i=1}^{+\infty}\phi_i^{(4)}(x)\eta_i(t)
  =f(x,t)
\end{equation}
等式两边乘以$\phi_j$并积分：
\begin{equation}
  M_j\ddot{\eta}_j+K_j\eta_j=F_j(t)
\end{equation}
其中：
\begin{align}
  M_j    & =\rho A\int_0^L\phi_j^2dx                                                \\
  K_j    & =-EA\int_0^L\phi_j\phi^{(4)}_jdx==-EA\int_0^L\ddot{\phi}_j\ddot{\phi}_jdx \\
  F_j(t) & =\int_0^L f(x,t)\phi_jdx
\end{align}

初始位移可转化到模态坐标（同杆）
然后求解振动响应（同杆）



\end{document}